2023 年北京预赛

解答

设实际人数为 $N$，则 $980\le N<990$。记 $\omega$ 为某一时刻同时在校人数的最大值，$\alpha$ 为两两参观时间不相交的同学人数的最大值。

按进入校园的时刻依次处理所有区间，并把每个区间放入一个与此前同色区间均不相交的组。一个新区间开始时，与它重叠的此前区间至多有 $\omega -1$ 个，故用 $\omega$ 个组一定足够。每组中的区间两两不交，所以每组至多有 $\alpha$ 个区间。因此

若 $\alpha ,\omega \le 31$，则 $N\le 31^2=961$，与 $N\ge 980$ 矛盾。故总能找到至少 $32$ 位满足题目两种情形之一。

反过来，取 $32$ 个彼此分离的时间段，把 $N$ 位同学分到这 $32$ 个时间段中，每组安排相同的参观区间，并使每组人数不超过 $31$。因为 $N<990<32\cdot 31=992$，这样的分配可以做到。此时任一时刻至多有 $31$ 人同时在校，而两两不同时在校的同学至多从每组取一人，即至多 $32$ 人。因此不能保证找到 $33$ 人。

所以