2018 年陕西预赛 · 第 8 题

解答

取 $A=(0,0),B=(8,0),C=(8,8),D=(0,8)$，则 $M=(8,4),N=(0,2)$。对 $P=(x,y)$，

故等值线为 $(x-4{)}^2+(y-3{)}^2=m+17$。它与四边的交点分别满足：

当 $-1<m<8$ 时，底边有两个内点，顶边无点，左右边各有两个内点，合计6个不同点。

若 $m<-1$，左右边、顶边均无点，至多只有底边两点；$m=-1$ 时共4点。 若 $m=8$，底边两角、左右边各一个另外的点、顶边中点，合计5点。 若 $m>8$，底边无点，左右边各至多一点，顶边至多两点，合计至多4点。 因此恰有6点当且仅当

选 $\boxed{\mathrm{C}}$。