培玉 · 一试

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2012 年河北预赛（高三卷） · 第 10 题

F2解答题数列综合

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{4}, a_{2} = \frac{3}{4}, a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ）；数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} \neq = \frac{1}{4}$ ， $3 b_{n} - b_{n - 1} = n$ （ $n \geq 2$ ），数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 。

(1)
证明：数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 为等比数列；
(2)
若 $b_{1} = \frac{11}{12}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

线性数列提供非齐次递推的特解，作差化为等比数列后分别求有限和，并核非零首项条件。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推换元化成线性

专题卡：先减基准，再找周期或交错不变量