专题地图 › 三角恒等变形
一试训练题
F2解答题三角恒等变形
已知 A+B+C=2kπ+π(k∈Z),求证:对于任意实数 x,y,z,有
x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.
作答
这是解答题,请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
把角和条件用于消去一个余弦,再尝试对一个变量配方。
思路
剩余的两个变量若能继续组成完全平方,就得到对任意实角都成立的证明,不必把这些角额外假设为三角形内角。
解答
由 A+B+C=(2k+1)π,
cosA=−cos(B+C)=sinBsinC−cosBcosC.
因而目标左右之差满足恒等式
D=x2+y2+z2−2xycosC−2yzcosA−2zxcosB=(x−ycosC−zcosB)2+(ysinC−zsinB)2.
展开第二行,yz 的交叉系数为 2(cosBcosC−sinBsinC)=−2cosA,其余项也分别相合。两平方都非负,所以
x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.
复核
取允许的退化角 A=π,B=C=0,差式变成 (x−y−z)2,与上面的平方和一致。证明没有除以任何正弦或余弦,因此这些为零的角也未被排除;对任意负的 x,y,z 同样是实数平方,不需要补正性条件。
方法总结
带角和约束的二次齐次不等式,常可先把一个角的余弦改写为另两角,再进行定向配方。明确的平方和恒等式同时说明全域适用性;只借图形直观或除三角函数,会无端缩小题目允许的角范围。
为什么评为 F2(会透露解法方向)
角和直接消去cos A,按x配方后剩余为第二个平方,是常规三角恒等式与配方法的衔接。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:三角恒等变形、作差后证明非负
专题卡:角之间差一个固定值:先写清角的关系,再用和差角公式、三角的平方、立方、四次方:降次或配方,只算需要的量