2012 年河北预赛（高三卷） · 第 7 题

解答

将 $y^2=8x$ 代入椭圆方程得 $3x^2+32x-48=0$，由抛物线上 $x\ge 0$，排除根 $-12$，得 $x_0=4/3$。 第一支严格递增，值域为 $(0,4\sqrt{6}/3)$；第二支定义域为 $(4/3,4]$，严格递减，值域为 $[0,4\sqrt{6}/3)$。 故两点条件恰为 $0<a<4\sqrt{6}/3$。 按左右次序记 $A(x_A,a),B(x_B,a)$，则 $0<x_A<4/3<x_B<4$。 作 $A$ 到准线 $x=-2$ 的垂足 $K$，抛物线定义给出 $NA=AK=x_A+2$。

椭圆长半轴 $4$、短半轴 $2\sqrt{3}$，故焦半距为 $2$，两焦点为 $F(-2,0)$、$N(2,0)$。 由椭圆的焦距和定义，$BF+BN=8$。 作 $BT\perp x$ 轴，垂足为 $T$。此时 $FT=x_B+2$，$NT=|x_B-2|$；无论 $T$ 在 $N$ 的哪一侧，勾股定理均给出

因此 $(BF-BN)(BF+BN)=8x_B$，由焦距和 $8$ 得 $BF-BN=x_B$，联立便有 $BN=4-x_B/2$。 这条路线用焦距和与两个直角三角形的平方差确定距离，不再把 $y_B^2$ 代入两点距离公式。

又 $AB=x_B-x_A$，所以

在 $0<a<4\sqrt{6}/3$ 上，$x_B=\sqrt{16-4a^2/3}$ 连续严格递减并取遍 $(4/3,4)$，故

下端对应被排除的分支连接点，上端 $a=0$ 时第一支没有交点，故两端均不可取。