2026 年中科大少年班入围考 · 第 9 题

解答

当 $\mu \le 0$ 时，$a_{n+1}=\mu a_n^2+1\le 1$，且 $a_1=1$，所以数列有上界，即使可能向负方向增长也不合要求。 当 $0<\mu \le 1/4$ 时，若 $0\le x\le 2$，则 $1\le \mu x^2+1\le 2$。初值在 $[0,2]$ 内，归纳得数列有上界 $2$。 当 $\mu >1/4$ 时，

故 $a_n\ge 1+(n-1)\delta \to +\infty$，无上界。因此所求为 $\boxed{\mu \in (1/4,+\infty )}$。