同一骨架 2023 年北京预赛 · P006650
比较同一点对两个圆的幂时，先选择能计算的公共直线或割线，把两个圆心和半径藏进点幂。两题再将等幂读成投影位置或切线长关系，避免分别求两圆的全部数据。
一题的垂直条件把距离平方差消去，另一题在公共高线上直接计算割线乘积。
培玉 · 一试
2025 年江西预赛
两相交圆等差幂线构型中的垂直关系
F4解答题平面几何综合
与 交于 两点，过点 的直线分别交 于点 。 为线段 上异于 的点， 点 满足
证明：。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
点对圆的幂为到圆心距离平方减半径平方；同一割线两交点的有向距离乘积等于点幂。根轴是对两圆幂相等的点集，经过两个公共交点时即为它们的连线。
想法从哪来：两圆相交给出一条天然的根轴，而内部点就在根轴上，因此它对两圆的幂相等。两个垂直条件恰好允许转换距离平方差：若从两固定端点向某方向投影相同，沿该方向两个点到它们的距离平方差就相同。这里用圆心和待证点作为固定端点，便把含圆心的量换成待证点到割线两点的距离差。 再利用割线上的有向点幂，把剩下圆的量写成割线坐标的二次式。目标是垂直于这条割线，等价于待证点在割线上的投影恰是公共交点。引入这个投影的坐标，距离平方差会线性地出现投影位置，比较两式就能把它锁定为零；不用依赖割线三点的具体先后顺序。
点 在两圆根轴上，所以它对两圆的幂相等。两个垂直条件允许把以圆心为端点的 距离平方差换成以 为端点的距离平方差；最后在直线 上用坐标解释所得等式。
解答
设两圆半径分别为 ，并记点 对两圆的幂为
由于 在两圆的根轴 上，
由 ，向量 与 垂直，展开距离平方差可得
同理由 ，
两式相减并使用式（1），得到
在直线 上取以 为原点的有向坐标，设 的坐标分别为 。 由点幂定理，
故式（2）化为
设 在直线 上的垂足为 ，其有向坐标为 。则
与式（3）比较，并注意 ，可得 。所以 ，即
复核
式（3）只使用有向点幂，因而不依赖 的具体先后次序。 最后的距离平方差把 到直线的垂足位置唯一锁定在 。
方法总结
根轴给出两圆幂相等，垂直条件则能消去距离平方展开中的交叉项。 得到同一直线上两端点的距离平方差后，引入投影坐标即可判定垂足。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须衔接根轴上的等幂、垂直产生的距离平方差与共线点有向幂，再反推出垂足在B。
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