培玉 · 一试
2026 年贵州预赛
F3填空题立体几何综合
在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 。已知 的长为整数， 的长为三个连续的奇数。则四棱锥 的体积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
由垂足在矩形顶点 ，三条侧棱的平方都可用勾股定理表示，并且 最长。
思路
把三条连续奇数依次记为 ，整数高条件可转成一组有限的因数配对。
解答
令 。由 平面 及矩形的勾股关系，
其中 最大，故不妨令 分别为 （次序可交换），而 。于是
所以
都是正奇数，因而左边两因数均为正偶数。唯一给出正高度的配对为
从而 。故 为 ，并且底面两边的平方为
底面积为 ，所求体积为
复核
另一偶因数配对 只给出 ，不能构成四棱锥；交换 只交换 矩形两边，不改变底面积。所得三条侧棱确为 ，均为连续奇数。
方法总结
直棱锥配矩形底面时，先用垂直关系写出各侧棱平方；连续整数条件与整数高条件常能把 平方差化成因数乘积，从有限因数配对中确定全部长度。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
联立连续奇数侧棱与整数高得到(r−2−h)(r−2+h)=16，用因子正性与奇偶性唯一确定尺寸。
已记下，谢谢！