2008 年山西预赛 · 第 13 题

解答

记 $A=a^2,B=b^2,T=A+B$。将 $y=1-x$ 代入椭圆，韦达给中点 $C=(A/T,B/T)$，故 $B/A=1/\sqrt{2}$。交点横坐标差的平方为 $4AB(T-1)/T^2$。弦斜率为负一，所以弦长平方是该数的两倍。代入 $|AB{|}^2=8$，得到 $AB(T-1)=T^2$。令 $r=B/A=1/\sqrt{2}$，则 $T=1+(1+r{)}^2/r$，从而 $A=3,B=3/\sqrt{2}$。故 $\boxed{x^2/3+y^2/(3/\sqrt{2})=1}$。