2011 年辽宁预赛 · 第 14 题

解答

由 $e=1/2$，有 $c=a/2,b^2=3a^2/4$。设射线 $F_{2}A$ 与横轴正向夹角为 $\theta$，记 $p=F_{2}A,q=F_{2}B$。焦点定义与余弦定理给 $p=b^2/(a+c\cos \theta ),q=b^2/(a-c\cos \theta )$：例如 $A{F}_1=2a-p$，平方关系 $(2a-p{)}^2=p^2+4c^2+4cp\cos \theta$ 即给第一式。因为焦点在弦内部，$AB=p+q$，而 $F_1$ 至弦所在直线的距离为 $2c|\sin \theta |$。令 $s=|\sin \theta |\in [0,1]$，于是面积为 $S=c(p+q)s=3a^{2}s/(3+s^2)$。其导数为 $3a^2(3-s^2)/(3+s^2{)}^2>0$，故最大值为 $3a^2/4$，由题设得 $a^2=8,b^2=6$。所求方程是 $\boxed{x^2/8+y^2/6=1}$。