2019 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 9 题

解答

取长半轴u、短半轴v、半焦距c，满足 $u>v>0,c^2=u^2-v^2$。固定一焦点后，它到远长轴顶点、近长轴顶点和两个短轴顶点的距离分别是 $u+c,u-c,u$。若3、2分别是远、近距离，$u=5/2,c=1/2$，两顶点距离5。若3为远距离、2为短轴顶点距离，则 $u=2,c=1,v=\sqrt{3}$，两顶点距离 $\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{7}$。若3为短轴顶点距离、2为近距离，则 $u=3,c=1,v=2\sqrt{2}$，两顶点距离 $\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt{17}$。其余安排均与 $u-c<u<u+c$ 或3与2不同矛盾。上述三组u、c均有 $0<c<u$，椭圆真实存在。所以 $\boxed{|AB|\in \{5,\sqrt{7},\sqrt{17}\}}$。