2025 年贵州预赛

思路

平行四边形恒等式 $|u+v{|}^2+|u-v{|}^2=2(|u{|}^2+|v{|}^2)$ 对复数同样成立。条件 $|2z-(a+b)|\le |a-b|$ 表示中点为圆心、半差模为半径的圆盘，退化为一点时也可如此表示。

想法从哪来：每个条件都把一个点限制在由另两点确定的圆盘里，先用“中点加半差乘单位盘参数”表示，不必分别引入五个复数的实虚坐标。这样嵌套两次后，最后一个点仍是最初中点加上半差乘某个合成参数，任务就变为控制这个合成参数的模。 合成参数同时含两参数的和与差，适合先用三角不等式，再用平行四边形恒等式把和、差的平方模合并。最后把结果写回最初两个单位圆盘点的线性组合，系数绝对值之和再作同样估计。上界连续用了数个不等式，取等构造应从合成参数的方向倒推，确保两级圆盘边界与最后的相位对齐同时成立。

每个不等式都表示“点落在以另外两点为直径的圆盘内”。用单位圆盘参数连续表示 $z_3,z_4,z_5$，问题归结为估计一个复参数 $q$ 的模。