2026 年福建预赛

解答

令 $m=n-1\ge 3$。递归定义

由于 $s_{j+1}\equiv 1(\mathrm{mod}{s}_i)$（$i\le j$），数 $s_1,s_2,\dots$ 两两互素且严格递增。

由 $s_j=P_{j-1}+1$，对 $j\ge 2$ 有

从 $1=1/s_1+1/P_1$ 开始反复使用这个等式，得到

取 $L=P_m$，并按如下次序定义 $n=m+1$ 个正整数：

由（1）（2），

为统一验证其余条件，令

于是 $a_i=L/q_i$，且每个 $q_i$ 都整除 $L$。因为 $s_1,\dots ,s_m$ 两两互素，

利用恒等式

得到 $[a_1,a_2,\dots ,a_n]=L$。结合（3），条件（1）成立。

对 $2\le i\le n-1$，$q_i,q_{i+1}$ 是两个不同且大于 $1$ 的互素数。 若 $a_i\mid a_{i+1}$，则

为整数，即 $q_{i+1}\mid q_i$，与二者互素且 $q_{i+1}>1$ 矛盾。 故条件（2）成立。

最后，因为 $q_i,q_{i+1}\mid L$，

这些相邻分母的最小公倍数依次为

第一项严格大于第二项，因为 $m\ge 3$；以后每一项也严格大于下一项， 因为 $s_{j+1}>s_{j-1}$。由（4），相邻项的最大公约数便严格递增，条件（3）成立。 所以构造（2）对每个 $n>3$ 都满足题目全部要求。