2011 年天津预赛 · 第 1 题

解答

令

引入

有 $h(0)=0$，而在 $0<x<\pi /2$ 上

故 $h(x)>0$，从而

因此 $r$ 严格递减，并且

对原区间中的每个 $x$，都有

所以，当 $k\le 2/\pi$ 时，

条件确实对全部 $x$ 成立，包括 $k=2/\pi$。

反之，若 $k>2/\pi$，由于

存在仍位于原开区间内、足够接近右端的 $x$，使得 $r(x)<k$。此时 $\sin x<kx$，不能恒成立。

综上，参数的准确范围为

选项 C、D 都与此范围相同，所以全部正确选项为