2019 年中科大少年班初试 · 第 7 题

解答

分母要求 $z\ne -1$，纯虚数的非零性还要求 $z\ne 1$。有 $\Re ((z-1)/(z+1))=(|z{|}^2-1)/|z+1{|}^2$，故 $|z|=1$。记 $x=\Re z$，则 $-1<x<1$，且 $\overline{z}=1/z$。展开得 $|z^2+z+3{|}^2=12x^2+8x+5=12(x+1/3{)}^2+11/3$。因此最小模为 $\sqrt{11/3}=\boxed{\sqrt{33}/3}$，在 $z=-1/3\pm (2\sqrt{2}/3)i$ 时取到。