2026 年福建预赛

解答

设红色数集合为 $R$，蓝色数集合为 $B$，并令

因为 $a$ 是两个不同正整数之和，所以 $a\ge 1+2=3$。另一方面，每个蓝色数 都是两个红色数之差；把较大者减去较小者，可知对任意 $b\in B$，

特别地，所有大于 $n-a$ 的数都是红色，故 $n\in R$。又因 $a-1$ 是蓝色， 由（1）有

即 $n\ge 2a-1$。

假设 $n\le 8$，则 $a\le 4$，所以只可能有 $a=3$ 或 $a=4$。

若 $a=3$，由（1）知 $n-2,n-1,n$ 都是红色，且 $n\ge 5$。 当 $n=5,6,7,8$ 时，把 $n$ 写成两个不同正整数之和的所有可能分别为

（$8=4+4$ 不合“两个不同”）。每一行的每一种写法都至少含有 $3$ 或 $n-2,n-1$ 中的一个红色数，故红色数 $n$ 不能表示成两个不同蓝色数之和，矛盾。

若 $a=4$，则 $n\ge 7$。在 $n\le 8$ 下，由（1）所有蓝色数都不超过 $n-4\le 4$；又 $4$ 为红色，所以蓝色数只能取自 $\{1,2,3\}$。 两个不同蓝色数之和至多为 $2+3=5<n$，仍与 $n\in R$ 矛盾。 因此 $n\ge 9$。

当 $n=9$ 时，取

红色数可分别表示为

而蓝色数可分别表示为

所有条件均满足。故最小可能值为