2016 年辽宁预赛 · 第 14 题

解答

写三点为 $(a,a^2),(b,b^2),(c,c^2)$，参数互不相同。边长如 $AB=|a-b|\sqrt{1+(a+b{)}^2}$，面积为 $|(a-b)(b-c)(c-a)|/2$。因此 $R=\sqrt{(1+(a+b{)}^2)(1+(b+c{)}^2)(1+(c+a{)}^2)}/2>1/2$；等号会要求三个参数和全为零，从而三点重合，不允许。反过来取 $a=-t,b=0,c=t$，$t>0$，则 $R=(1+t^2)/2$，恰取遍 $(1/2,+\infty )$。所以 $\boxed{R\in (1/2,+\infty )}$。