2023 年福建预赛

解答

整体缩放不改变所求比例，取 $a=3,b^2=8,c=\sqrt{17}$。由向量等式，直线 $AB$ 经过 $F$；而 $D=-A$，故垂直条件为 $(A+F)\cdot (A-F)=0$，即 $|A{|}^2=17$。与 $x^2/9-y^2/8=1$ 联立，并保右支，可取 $A=(15/\sqrt{17},\pm 8/\sqrt{17})$。对应直线写为 $x=\sqrt{17}+s,y=\mp 4s$，代入双曲线得 $17s^2-2\sqrt{17}s-8=0$。已知根 $s_A=-2/\sqrt{17}$，另一根为 $s_B=4/\sqrt{17}$，所以 $\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{AF}$。因此 $\boxed{\lambda =1/2}$。