2018 年山西预赛 · 第 5 题

解答

椭圆焦点为 $(\pm 3,0)$。双曲线两准线关于其中心对称，法向沿两焦点连线。若双曲线焦点取椭圆的两相邻顶点，设其位置向量为 $U,V$，双曲中心为 $(U+V)/2$。两准线分别经过 $(\pm 3,0)$，所以中心在焦轴方向的投影应为零，即 $((U+V)/2)\cdot (V-U)=0$；但左端是 $(|V{|}^2-|U{|}^2)/2$，其两项为二十五与十六，不为零。故不能取相邻顶点。若取 $(0,\pm 4)$，准线水平且不同，不可能分别经过同在横轴上的两个焦点。因此只能取 $(\pm 5,0)$，半焦距为五，准线 $x=\pm a^2/5$ 经过 $(\pm 3,0)$，所以 $a^2=15,b^2=25-15=10$。方程为 $\boxed{x^2/15-y^2/10=1}$。