2025 年上海预赛

双曲线切线上的焦点垂足

F4解答题双曲线

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线

Γ : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 。若直线 $l$ 是过 $Γ$ 右支上点 $P$ 的切线，且 $l$ 不与 $x$ 轴垂直。过点 $F_{1}, F_{2}$ 分别作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $T_{1}, T_{2}$ 。

（1）证明：点 $T_{1}, T_{2}$ 均在以 $O$ 为圆心、 $a$ 为半径的圆上，并且 $O T_{1} ∥ F_{2} P$ ， $O T_{2} ∥ F_{1} P$ ；

（2）证明： $∣ F_{1} T_{1} ∣ \cdot ∣ F_{2} T_{2} ∣$ 是定值。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

要统一两焦点的投影表达式，发现曲线约束导出的核心恒等式，同时推出定圆、平行和距离积。

用到的方法（会透露解法方向）