培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题幂指对
方程 的解集为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先把变底的幂统一写成十进制固定底数，再把重复出现的对数平方整体换元。
思路
新变量有非负约束，所得左边严格单调；找到一个能精确代入的值后，可用单调性证明没有其他分支。
解答
定义域为 。令 ，则
原方程等价于 。函数 在 上严格递增，而 时其值为 ，故只能有 。于是 ，得
复核
两个正的候选输入都使对数平方为1，且变底幂也等于10，因此原左边确为20。两个根来自对数的正负，而不是新变量方程有两个解。原式的第一项是10乘对数平方，不是以10为底的另一个指数项。
方法总结
变量同时位于幂的底与指数时，先用固定底数表达，再把公共幂指数作新变量。新变量的值域与回代的正负分支都要保留；单调性负责排除其他解，回代负责补全原变量的多个解。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
统一常用对数底数并令对数平方为变量后，利用明显严格递增的和式检验唯一解，再回代正负两根。
已记下，谢谢！