2008 年天津预赛 · 第 9 题

解答

取格点坐标为 $\{0,1,2,3,4{\}}^2$。任一格点直线有互素的整数方向向量 $(p,q)$。若它至少含三个格点，最远两点至少跨两个方向步，故 $|p|,|q|\le 2$。不同的无向方向仅为水平、竖直、斜率正负一、正负二及正负二分之一。 水平与竖直各五条。斜率一时直线 $y-x=c$ 须 $-2\le c\le 2$，共五条；斜率负一同样五条。斜率二的三点必须从纵坐标零到四，起点横坐标可为零、一、二，共三条；其三个对称方向也各三条。合计 $\boxed{5+5+5+5+4\cdot 3=32}$ 条。