2025 年中科大少年班入围考 · 第 17 题

解答

由正性和平方和为一，各 $t=a,b,c$ 都在 $(0,1)$。对正整数 $n$，有 $n-(n+1)t+t^{n+1}=(1-t{)}^2{\sum }_{j=0}^{n-1}(n-j)t^j>0$。因此 $n>t(n+1-t^n)$，在正分母下得到 $t/(n+1-t^n)>t^2/n$。对三项相加，便有 $\boxed{a/(n+1-a^n)+b/(n+1-b^n)+c/(n+1-c^n)>1/n}$。