立体几何基础知识

点到平面的距离是垂线段长，侧棱通常不是高。直线垂直平面，会垂直该平面内经过垂足的各条直线；反过来证明线面垂直时，可用面内两条相交直线。例：$P=(0,0,3),A=(0,0,0),B=(4,0,0)$，平面为 $z=0$，则高 $PA=3$，斜棱 $PB=5$。空间长度计算应先说明直角来自哪一条垂直关系。

球心在截平面上的垂足就是截圆圆心。球半径 $R$、截圆半径 $\rho$、球心到平面距离 $d$ 满足 $R^2=d^2+{\rho }^2$，其中距离均非负。截面上三点不共线时，该圆也是三点所成三角形的外接圆，可用 $\rho =a/(2\sin A)$。例：弦长 $4$ 对圆周角 $30^{\circ }$，得 $\rho =4$；若球半径为 $5$，则 $d=3$。

柱体体积为 $Sh$，锥体为 $Sh/3$，其中 $S$ 是实际底面积，$h$ 是相应的垂直高度；换底面时，底和高必须成对更换。例：底面三角形边长为 $5,5,6$，底边 $6$ 上的高为 $4$，故面积 $12$。若锥体高为 $5$，体积就是 $20$。侧面斜高可用于侧面积，但不能直接替代体积的高。

选定三个正交方向后，前视对应宽与高，侧视对应深与高，俯视对应宽与深，同一维的尺寸应相合。实线、虚线和内部斜棱也是条件，不能只比较外轮廓。例：单位正方体与其七个顶点的凸包，三个正投影外轮廓都是单位正方形，但后者切掉一个体积 $1/6$ 的角锥，体积为 $5/6$。仅凭外轮廓不能判定立体相同。

若若干部分的内部不重叠，公共面不贡献三维体积，可以直接相加；若是相并的两个实体，则 $V(U\cup W)=V(U)+V(W)-V(U\cap W)$。例：两个边长 $2$ 的轴平行正方体，其中一个相对另一个平移 $(1,1,1)$，公共部分是边长 $1$ 的正方体，所以并体体积为 $8+8-1=15$。补成熟悉柱体再扣去锥体，同样要核扣去部分确在其中。

锥体高为 $H$，在距底面 $z$ 的平行截面上，线性缩放比为 $1-z/H$，面积比为其平方，顶端小锥的体积比则为其立方。例：底面积 $9$、高 $6$ 的锥体，距底面 $2$ 处截面面积为 $4$；其上方小锥高 $4$、体积 $16/3$，占总体积 $18$ 的 $8/27$。两个锥体若共顶点、底面共面，则同高截面与交集都按共同的比例缩放。

相同高时体积比等于底面积比，相同底时等于高度比。从平面内一点沿线段移向面外顶点时，到该平面的距离与分点比例相同。若四面体同一顶点的三条棱分别按比例 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 取点，所得小四面体体积比为 $\alpha \beta \gamma$，不要求三棱互相垂直。例：三个比例为 $1/2,2/3,3/4$，体积比为 $1/4$，原体积 $12$ 时小体积为 $3$。

外接球经过各顶点，球心到顶点距离相等；内切球与各面相切，球心到各面的距离都等于球半径，两种条件不能互换。例：棱长 $2$ 的正方体，外接球半径为 $\sqrt{3}$，内切球半径为 $1$。若已知一个凸多面体确有与各面相切的内球，分割为同高小锥可得 $3V=rS$；此式不能单独证明任意多面体都有内切球。