2018 年天津预赛 · 第 8 题

解答

f的定义域关于0对称，且对0附近的非零x，奇性给 $(ax+\sqrt{2x^2+1})(-ax+\sqrt{2x^2+1})=1$，即 $(2-a^2)x^2+1=1$，故 $a=\sqrt{2}$。此时真数对所有实数均为正，且 $f\prime (x)>0$。令 $z=2^{f(x)}>0$，则 $z^{-1}=\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{2}x$，所以 $x=(z-z^{-1})/(2\sqrt{2})$。$f(x)=3/2$ 时 $z=2\sqrt{2}$，得 $x=7/8$。由严格递增，所求解集为 $\boxed{(7/8,+\infty )}$。