2024 年中科大少年班营二 · 第 3 题

解答

前三问设所讨论的空间为距离空间 $(X,d)$，开球记为 $B(x,r)=\{y:d(x,y)<r\}$。

（1）若 $x\ne x_0$，取 $r=d(x,x_0)/2>0$。因为 $d(x,x_0)>r$，球 $B(x,r)$ 不含 $x_0$，故包含在 $X\setminus \{x_0\}$ 中。补集的每个点都有这样的开球，所以补集开，单点集闭。

（2）设 $U={\bigcup }_{i\in I}{U}_i$，各 $U_i$ 为开集。任取 $x\in U$，存在 $i_0$ 使 $x\in U_{i_0}$。于是有 $r>0$ 满足 $B(x,r)\subseteq U_{i_0}\subseteq U$，故 $U$ 开。空族的并为空集，也为开集。

（3）设 $V={\bigcap }_{i=1}^n{U}_i$，其中 $n$ 为正整数。任取 $x\in V$，对每个 $i$ 都能取 $r_i>0$ 使 $B(x,r_i)\subseteq U_i$。令 $r={\min }_{1\le i\le n}{r}_i>0$，即有 $B(x,r)\subseteq V$，故 $V$ 开。空族的交为整个空间，也开。

（4）设 $p$ 为素数，距离为 $d_p(a,b)=|a-b{|}_p$。取

这里 $p\ge 2$，故 $q$ 是绝对值小于 $1$ 的非零有理数，不是整数。由等比求和公式，

因 $p$ 不整除 $1-p^2$，按 $p$-进绝对值定义有

所以每个以 $q$ 为中心的正半径开球都含某个整数 $s_n$，但 $q$ 不属于 $\mathbb{Z}$。这说明 $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$ 不是开集，故

前三项的开闭性结论也均已证明。