2022 年中科大少年班初试 · 第 1 题

解答

因为 $2022=2\cdot 3\cdot 337$，而三个正整数之和为偶数保证至少一个为偶数，所以只需乘积同时被三与三百三十七整除。 先数至少一个变量被三百三十七整除的三元组。固定 $a=337t$，其中 $1\le t\le 5$，对应 $(b,c)$ 有 $337(6-t)-1$ 组，其和为五千零五十；另两变量同理。若其中任意两个被三百三十七整除，第三个也如此，全部相应于三个正整数之和为六，共 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 组。因此容斥得

再扣去其中乘积不被三整除的情形。此时三个变量的模三余数必全为一或全为二。固定 $a=337t$，只须 $t=1,2,4,5$；对应 $b,c$ 具有同一所需非零余数的个数分别是 $562,449,225,112$，合计一千三百四十八。若三个变量都是三百三十七的倍数，写其系数为正数 $u,v,w$ 且和为六；坏情形为 $(1,1,4)$ 的三个排列及 $(2,2,2)$，共四组。故坏三元组数为

所求为 $\boxed{15130-4036=11094}$ 组。