同一骨架 2022 年四川预赛 · P006896
两题都先用正弦或余弦定理把面积、三角比与边联系起来，再用两边平方和对乘积的界提取等腰取等条件。多变量问题因此压成一个角的最值，最后仍要让角条件与等腰条件同时实现。
一题对倒数型三角式作下界并用半角参数，另一题从边的二次约束控制面积上界；不等号方向与正分母要分别核。
培玉 · 一试
2025 年重庆预赛
三角形中的三角比式最小值
F3填空题三角函数综合
在 中，
的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先用正弦定理把 消去，再以余弦定理和 得到只含 的下界，最后作半角代换。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由正弦定理，原式等于
又由余弦定理及 ，
故 。于是原式不小于
令 ，则
等号在 且 时成立，例如取 、。故最小值为 。
复核
等号条件同时满足 与 ，确有非退化三角形达到该值。
方法总结
含三个角的齐次三角比式可先转成边长比，再用余弦定理压缩为单角问题；半角正切常把最终估计化为基本不等式。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须先固定角A把另两边压到相等，再将单角分式用半角正切换元，核准两组等号同时成立。
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