培玉 · 一试
2024 年北京预赛
如图，锐角 的三条高线 交于点 。过点 作 ，交直线 于点 。设 的外接圆为 ， 与直线 的另一个交点为 。过 作 ，交直线 于点 。连接 。求证：。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
点到圆心等距可转成垂直平分线条件；圆方程 的圆心为(-L/2,-M/2)。垂足可由向量投影求出。
想法从哪来：目标是圆心到D、Q等距，若把DQ放在纵轴上，只需证明圆心的纵坐标是Q纵坐标的一半；这样可少算一个圆心坐标。于是用底边与高作坐标轴，让D成为原点。先求F和G，再利用C、G都在横轴上，圆方程中关于x的部分可直接由两根写出，仅需代F求y的系数。找P时把AC参数化，已知交点C会给一个现成根，利用另一个根比完整解二次方程简洁。最后平行DE的条件用方向比求Q，整个计算都围绕纵坐标关系组织，避免求所有长度再平方。
把 取为横轴、 取为纵轴。圆心与点 的横坐标不必求出；只要证明它们在纵向上关于 呈二倍关系，即可得到等距。
解答
取
其中 。因三角形为锐角，。由垂足公式，
且由 得
过 的圆方程化为
所以圆心 的纵坐标为
再由垂足公式，
把直线 参数化为 。代入上述圆方程，除去对应 的根 ，另一个交点 对应
过 作与 平行的直线并令其横坐标为 ，代入 的坐标化简得
由（1）、（2），点 与 到水平直线 的纵向距离相等。两点横坐标又相同，故
因此 。
复核
图中全部坐标由同一锐角三角形精确计算：三条高、平行线、圆上四点及 均已数值复核；代数证明没有依赖示意图比例。
方法总结
复杂垂足与圆交点构型可选择两条互相垂直的基准线坐标化；目标为同一圆心到两点等距时，优先寻找两点关于圆心某条水平线的对称关系。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需在同一高线坐标系下依次求垂足、圆及二次交点，最后发现Q纵坐标恰为圆心两倍，消去大量参数。
已记下，谢谢！