培玉 · 一试
2021 年上海预赛
F2解答题不等式的证明
已知正实数 满足 ，求 的最大值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
用约束消去 ，问题化为一个开区间上的三次函数最值。
解答
由 ，
故 。于是
其导数为 ，所以在 处取得最大值。此时 ，从而
复核
函数在区间两端趋于 ，唯一内部驻点 确为全局最大点。
方法总结
二元正变量等式约束下的最值，优先消元并同时保留由正性给出的变量区间。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
由约束消去b后目标为27a减a立方，限定a正且b正的区间，求唯一内部最大点即可。
已记下，谢谢！