2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 5 题

解答

设 $O$ 为 $P$ 在底面上的正投影，$PO=h$。由 $PA=PB=PC=PD=1$，

所以 $A,B,C,D$ 共圆，$O$ 为圆心。 又 $AB=BC$、$DA=DC$，故 $B,D$ 都在 $AC$ 的垂直平分线上，而圆心 $O$ 也在这条线上。因此 $BD$ 经过圆心，是该圆的直径。 于是 $\angle BAD=\angle BCD=90^{\circ }$，由勾股定理，

故圆半径为 $\sqrt{3}/2$，

底面积为两个直角三角形的面积之和：

因此体积为