2025 年新疆预赛

解答

设 $z_1=r{e}^{\mathrm{i}\theta }$，其中 $r>0$。因为 $z_1\notin \mathbb{R}$，所以 $\sin \theta \ne 0$。而

故 $r=1$，即 $|z_1|=1$。

整体乘以单位复数不改变模，故可令 $z_1=1$，并写

记

则

由于 $0\le {\cos }^2\phi \le 1$，有

两端分别在 $|\cos \phi |=1$ 与 $\cos \phi =0$ 时取得，故取值范围为