2010 年湖北预赛 · 第 11 题

解答

弦 $AB$ 长为 $8\sqrt{66}/9$，右焦点为 $F=(\sqrt{5},0)$。沿单位方向 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ 联立椭圆，焦点弦长为 $MN=88/(11{\cos }^2\alpha +16{\sin }^2\alpha )$。因此在题述四边形有定义的构型下，$\boxed{S_{MANB}=\frac{352\sqrt{33}}{9}\frac{|\sin \alpha -\cos \alpha |}{11{\cos }^2\alpha +16{\sin }^2\alpha }}$。令 $\beta =\alpha -\pi /4,u=\cot \beta$，所求面积变为 $AB\cdot 88\sqrt{1+u^2}/(27u^2+10u+27)$。后一个函数的导数符号与 $-(27u^3+27u+10)$ 相同；该三次式严格递增，唯一零点为 $u=-1/3$。两端无穷极限都小于此处值，故全局最大就在此处，对应 $\tan \alpha =-1/2$。于是最大面积时 $\boxed{l:y=-\frac{1}{2}(x-\sqrt{5})}$，最大面积为 $88\sqrt{165}/45$。