培玉 · 一试

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2013 年河北预赛 · 第 11 题

F2解答题递推数列

已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ， $2 a_{n + 1} = 3 a_{n} - a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ）。

(1)
求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
(2)
求使不等式 $\frac{a _{n} - m}{a _{n + 1} - m} < \frac{2}{3}$ 成立的所有正整数 $m, n$ 的值。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

先解二阶线性递推，再处理含整数参数的分式符号与随下标变化的区间，必须保留零分母及严格边界。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推换元化成线性、按断点分段讨论

专题卡：线性递推求通项：一阶减不动点，二阶用特征根