2018 年河南预赛 · 第 1 题

解答

若 $0<n\le 1$，函数在整个区间严格递增，故最大值 $f(n)=n-n^2/2<n<kn$，矛盾；若 $n>1$，全局上界 $f(x)\le 1/2<kn$，同样矛盾。因此 $n\le 0$。此时 $f$ 在区间严格递增，故 $f(m)=km,f(n)=kn$，每个非零端点均满足 $1-x/2=k$。若两端均非零便有 $m=n$，矛盾，所以 $\boxed{n=0}$。