2008 年河北预赛 · 第 3 题

解答

要求 $a>0,a\ne 1$，并在 $q(x)=x^2-ax+1>0$ 的自然定义域讨论。若 $0<a<1$，当 $|x|$ 趋于无穷时，$q(x)$ 趋于正无穷，对数趋于负无穷，无最小值。若 $a>1$，对数递增。二次式的最低值为 $1-a^2/4$，当 $1<a<2$ 时为正且在 $x=a/2$ 取得，故对数有最小值。若 $a\ge 2$，则真数可在定义域内从正侧趋于零，对数趋于负无穷，仍无最小值。因此范围是 $1<a<2$，选 $\boxed{\mathrm{C}}$。