2022 年北京预赛

解答

记 $s_3(m)$ 为正整数 $m$ 的三进制数位和。勒让德公式给出

因此

题设中的“不整除”等价于左端不超过 $(k-1)n$，也就是

若 $k=3^a$，乘以 $k$ 只会把三进制表示整体左移，所以 $s_3(kn)=s_3(n)$，条件成立。

反之，设 $k=3^{a}u$，其中 $3\nmid u$。若 $u>1$，取正整数 $h$ 使 $3^h\equiv 1(\mathrm{mod}u)$，并令

对任意正整数 $t$，令 $r=th$，并取

因为 $0<R<3^h$，右端在三进制中由 $t$ 个相同的 $h$ 位块组成。 又当 $u\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ 时 $R\equiv 0(\mathrm{mod}3)$，当 $u\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ 时 $R\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，所以末尾加 $1$ 不产生进位。于是

另一方面，

故

它与 $t$ 无关。由于 $R>0$，取充分大的 $t$ 即有

而乘以 $3^a$ 不改变数位和，所以 $s_3(k{n}_t)=s_3(u{n}_t)<s_3(n_t)$，与 (1) 矛盾。 因此必须有 $u=1$，即 $k$ 只能是 $3$ 的非负整数次幂。

不超过 $2020$ 的这些数为

共

个。