垫脚石（此题 → 相关题） 2025 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 7 题 · P007123
先练习把两条三角分量条件平方相加，识别为单位圆向量和的模平方；再把同一恒等式用于三个单位向量的分组，对总和分别求上下界，并给每个界单独构造。
前题已知合向量的两个分量，可反求两方向的夹角余弦；后题反过来从点积界确定两种合向量模界，上下端需要选择不同分组。
培玉 · 一试
2015 年陕西预赛 · 第 3 题
F2填空题三角恒等变形
已知
则 的值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
将两条加权三角条件平方相加，交叉项会合成差角余弦，其余项由单位圆恒等式直接确定。
解答
由原两式得 。左端展开为 。因此 。
复核
取 ，第一条件为 ，第二条件为 ，差角为 ，确实实现结果。无需将差角余弦为零擅自缩成某一个有向差角。
方法总结
两个加权单位圆向量的长度平方，常能直接确定夹角余弦而不需求两角。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
两个加权三角线性条件平方相加，利用单位圆恒等式直接确定差角余弦。
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