2025 年甘肃预赛

解答

设 $SA=h>0$，建立空间直角坐标系，使

因 $E\in SC$，可设

由 $DE\perp SC$，

即

所以

1. (1)
   $$\overrightarrow{BE}=(\lambda -1,\lambda ,h(1-\lambda )),\overrightarrow{SC}=(1,1,-h).$$

   利用 (1) 得

   $$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{SC}=2\lambda -1-h^2(1-\lambda )=(2+h^2)\lambda -(1+h^2)=0.$$

   故 $SC\perp BE$。

2. (2)

   点 $E$ 到平面 $BCD$ 的距离为

   $$h(1-\lambda )=\frac{h}{h^2+2}.$$

   又 $△BCD$ 的面积为 $1/2$，所以

   $$V_{E-BCD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{h}{h^2+2}=\frac{h}{6(h^2+2)}.$$

   由

   $$h^2+2\ge 2\sqrt{2}h$$

   知体积当且仅当 $h=\sqrt{2}$ 时取得最大值。

   四棱锥的底面积为 $1$。侧面 $SAB,SAD$ 都是两直角边分别为 $h,1$ 的直角三角形； 侧面 $SBC,SCD$ 的面积都为 $\sqrt{1+h^2}/2$。故表面积为

   $$1+h+\sqrt{1+h^2}.$$

   代入 $h=\sqrt{2}$，得到

   $$\boxed{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}.$$