易混 2021 年江西预赛 · P007016
两题都借一个平方条件先压缩候选，再检查另一平方条件；但“找最小解”和“列全所有解”需要不同的停止证明。一个可行见证只能给最小值搜索上界，不能自动给全部解的上界。
一题通过相邻平方差限制增量并穷尽全部情形；另一题只需排尽可行见证之前的有限候选。
培玉 · 一试
2026 年广州预赛
强平方对的完全分类
F3填空题数论
称正整数对 （）为“强平方对”，若 和 均为完全平方数。则所有的“强平方对”为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
两个完全平方数分别只比 大一个线性量。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
写成相邻平方差的因式分解后，利用 先把第一个平方差的增量压到 ，再把第二个增量压到 或 。
解答
设
则
若 ，右边至少为 ，矛盾。因此 ，从而
再设
由式 (1)，
若 ，左边至少为 ，不可能，故 或 。
当 时，
解得 。当 时，
解得 。所以所有强平方对为
复核
对 ，两个数均为 ；对 ，
对 的上界讨论覆盖了全部正整数增量，故分类穷尽。
方法总结
当完全平方数落在 附近时，设为 并比较平方差，线性上界通常能先限制 的极少数取值，再逐项求解。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
利用a≥b先迫使第一平方根增量只能为1，再代入反向条件将另一增量压到1或2，完成有限分类。
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同一骨架 2023 年吉林预赛 · P006706
两题都把“两个平方相差一个量”写成差与和的乘积，再用整数间距、正性和奇偶信息压缩可能。真正有效的是平方根之间的离散间距，而不是仅给平方量一个连续估计。
一题分类哪些单个整数可表示为正平方差，须排除零平方端点；另一题同时有两条平方差关系，前一条先锁住后一条的增量范围。
已记下，谢谢！