2011 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

（1）设 $Q=(q,0)$，$A,B$ 纵坐标为 $u,v$。焦半径等差条件给 $x_A+x_B=2x_0$，即 $u^2+v^2=2y_0^2$。若 $A\ne B$，则 $u\ne v$；若又 $u+v=0$，这两个点必为 $M$ 及其横轴反射点，与题设不重合于 $M$ 矛盾。因此 $u^2\ne v^2$。原式就是 $((A+B)/2-Q)\cdot (B-A)=0$，展开并约去非零因子得到 $\boxed{\overrightarrow{OQ}=(x_0+p,0)}$。还要保留原文未排的重合支：若 $A=B\ne M$，则二者只能是 $M$ 的横轴反射点，原数量积为零对任意轴上 $Q$ 都成立，此时 $\boxed{\overrightarrow{OQ}=(q,0),q\in \mathbb{R}}$。若 $M$ 是顶点，则根本没有满足原条件且不与 $M$ 重合的点对。（2）所述四边形有定义时 $A\ne B$，故回到非重合支。由 $x_0+p=3$、$x_0+p/2=5/2$ 得 $p=1,x_0=2,y_0=\pm 2$。此时 $u^2+v^2=8$，两点不同且不等于 $M$ 排去 $u,v=\pm 2$ 的四种端组合，所以 $0<|u-v|<4$，并且区间内每个差长皆可取得。四边形是两水平边的梯形，其面积为 $(FA+FB)|u-v|/2=(5/2)|u-v|$，故完整范围为 $\boxed{(0,10)}$。