2024 年福建预赛

F4填空题双曲线

已知 $A$ 为双曲线

C : \frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1

的右顶点，过点 $A$ 斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别与双曲线 $C$ 交于另外两点 $M, N$ ，其中 $k_{1} > 0, k_{1} k_{2} = 1$ 。若点 $P (\frac{6}{5}, 0)$ 满足

\frac{∣ PM ∣ \cdot ∣ PN ∣}{∣ MN ∣ ^{2}} = \frac{14}{25},

则 $△ A MN$ 的面积为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

要用互为倒数的斜率同时参数化两交点，化简距离比后按符号解方程，并把两个参数分支统一到同一面积。

用到的方法（会透露解法方向）