2009 年河南预赛 · 第 6 题

解答

过 $M$ 的直线写为 $M+s(\cos \theta ,\sin \theta )$。两交点的参数满足 ${\sin }^2\theta s^2-2p\cos \theta s-2pa=0$。由根和根积，得到 $1/M{P}^2+1/M{Q}^2={\cos }^2\theta /a^2+{\sin }^2\theta /(pa)=1/a^2+(a-p){\sin }^2\theta /(p{a}^2)$。由于 $a>0$，所有非水平方向都有两实交点，故随方向恒定恰须 $a=p$。所以 $\boxed{a=p}$，定值为 $1/p^2$。