2009 年黑龙江预赛 · 第 12 题

两题都先把函数条件封闭为有限个线性未知量：一个定点导数先记作常数并回到同一点自洽，另一题联立对称输入处的函数值。消元恢复解析式之后，还须把结果送回原条件验证。

导数恒等式通过求导增加一个局部约束；奇偶条件通过输入反射增加一条代数关系，不能混淆额外方程的来源。

两题都出现一个定点的函数值或导数，但已知信息的范围不同：全体输入恒等式可以求导后回代并恢复整条函数；单点切线关系一般只能锁定局部线性组合，不能据此假设函数整体为直线。

先判断条件是全局恒等还是单点约束，再决定能否求整条解析式；局部目标并不要求也通常不允许强行确定整个函数。

导数条件能确定多少信息，取决于它是函数恒等式中的定点常数，还是全域的不等式约束。前者可以求导后回到定点建立自洽方程；后者应减去适当的一次函数判单调，不能据此猜出唯一函数。

前题求出定点导数后能恢复整个多项式；后题只需确定差函数相对已知零点的符号，再按对数定义域还原输入。