2023 年贵州预赛

解答

取两条割线的单位方向为互相垂直的 $\mathbf{e},\mathbf{f}$，并记

这里使用了点幂 $PA\cdot PB=PD\cdot PC=O{P}^2-2^2=1$。在以 $P$ 为原点、 $\mathbf{e},\mathbf{f}$ 为坐标轴的坐标系中，

割线方程的两根之和给出

令 $u=e^{-\alpha },v=e^{-\beta }$，其中 $\alpha ,\beta >0$，则

函数 ${\cosh }^{2}x$ 在 $[0,+\infty )$ 上为凸函数，故

于是

面积随 $uv\in (0,1)$ 递减，所以

取 $\alpha =\beta$，即两割线方向上 $\overrightarrow{OP}$ 的投影绝对值相等时等号成立。