2018 年河北预赛（高二卷） · 第 4 题

解答

取

并记 $q=t^2-3t+1$。则

由两个角的正弦、余弦，

最后一步使用了

所以原商有定义当且仅当 $q\ne 0$。在这个合法域上，

$q=0$ 的两个根为

都严格位于边的内部；这两点的原商无定义，不能把 (1) 在此连续延拓后的值当作原式值。

另一方面，取

这些参数都在 $[0,3]$ 中，而且都不等于 $t_{-}$ 或 $t_{+}$，故原商有定义。随 $j\to \infty$，$q(t_j)\to 0$，(1) 的值趋于 $-3$。因此对任何已经取得的值，都还有更接近 $-3$ 的更大合法值。所求结论为

它的上确界为 $-3$，但该上确界不取到。