2026 年中科大少年班营一 · 第 1 题

解答

因为 $f$ 在全实轴非负且 $f(3)=0$，根3具有偶数重数，否则其邻域两侧会变号。因此可写为 $f(x)=(x-3{)}^{2}Q(x)$，其中 $Q$ 为首一二次多项式。对 $x\ne 3$，有 $Q(x)\ge 0$，由连续性在3处也非负。又 $f(2)=1$ 给出 $Q(2)=1$，故存在实数 $t$ 使

这个首一二次式全轴非负，当且仅当判别式 $t^2-4\le 0$，即 $-2\le t\le 2$。所以全部解为

反过来，该范围使 $Q\ge 0$，所得四次式首项系数为1，且在2、3处分别为1、0，全部满足。