一试训练题

解答

定义域为 $(-\infty ,0]\cup [4,+\infty )$。在 $x<0$ 时令 $u=2-x>2$，则 $f(x)=4-2u+\sqrt{u^2-4}$。记 $v=\sqrt{u^2-4}\ge 0$，有 $(2u-v{)}^2-12=(u-2v{)}^2\ge 0$，且 $2u-v>0$，所以 $f(x)\le 4-2\sqrt{3}$。等号当 $u=2v$，即 $u=4/\sqrt{3}$、$x=2-4/\sqrt{3}<0$ 时取得。该支连续，且 $x\to -\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，其值域为 $(-\infty ,4-2\sqrt{3}]$。在 $x\ge 4$ 上，2x和根式均严格递增，起点 $f(4)=8$，无上界，所以该支值域为 $[8,+\infty )$。合并为 $\boxed{(-\infty ,4-2\sqrt{3}]\cup [8,+\infty )}$，两个有界端点均可取。