2019 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 3 题

解答

记 $\mathbf{a}=2\mathbf{e}+\mathbf{v}$，其中 $\mathbf{v}\perp \mathbf{e}$，令 $s=|\mathbf{v}|\ge 0$。则 $|\mathbf{a}+t\mathbf{e}|=\sqrt{(t+2{)}^2+s^2}$ 的最小值为s，在 $t=-2$ 取得。题设当且仅当 $4+s^2\le 5s$，即 $(s-1)(s-4)\le 0$，所以 $1\le s\le 4$。于是 $|\mathbf{a}|=\sqrt{4+s^2}\in \boxed{[\sqrt{5},2\sqrt{5}]}$。任取该范围内s并选长度s的垂直向量，都能实现。