2026 年云南预赛

解答

(1) 对 $x\ge 0$，

其中第一项在 $[0,+\infty )$ 上递减，最大值为 $2/3$。因此

当且仅当

当 $\lambda =2/3$ 时，导数只在 $x=0$ 处为零，在 $x>0$ 时严格小于零， 函数仍在该区间上单调递减。故

(2) 令

则 $t\in \mathbb{R}$，且 $x=(t^3-1)/2$。原不等式等价于

即

因式分解得

二次式 $3t^2+9t+25$ 的判别式为

且首项系数为正，所以它恒正。于是 $t\le 3$。立方根函数严格递增，故

即